Darbas Kauno politechnikos institute/ Kauno technologijos universitete
1950 m. baigęs universitetą, S. Kutkevičius liko dirbti akademiko Antano Purėno vadovaujamoje Organinės chemijos katedroje. Nuo 1951 m. sausio 1 d. universitetas buvo reorganizuotas į Kauno politechnikos institutą. Iš pradžių S. Kutkevičius dirbo vyresniuoju laborantu, vėliau asistentu, vyresniuoju dėstytoju. 1952 m. išvyko į Maskvą – mokėsi D. Mendelejevo cheminės technologijos instituto aspirantūroje, vadovaujamas žymaus rusų chemiko akad. N. Vorožcovo, parengė ir 1955 m. apgynė disertaciją „Epichlorhidrino sąveikos su aromatiniais aminais produktų tyrimas“. Jam, darbščiam, sėkmingai tyrimus vykdančiam aspirantui, buvo paskirta valstybinė stipendija. Po aspirantūros 1955 m. S. Kutkevičius sugrįžo į KPI, kur dirbo asistentu, vėliau vyresniuoju dėstytoju, o nuo 1958 m. – docentu Organinės chemijos ir technologijos katedroje. Jis buvo puikus pedagogas – daugelį metų skaitė organinės chemijos kursą Cheminės technologijos ir Lengvosios pramonės (dabar Mechanikos inžinerijos ir dizaino) fakultetų studentams. Jis buvo dažų chemijos pradininkas Lietuvoje: parengė Dažų chemijos kursą, kurį daugelį metų dėstė cheminės audinių apdailos specialybės studentams, tobulino lietuvišką dažiklių bei pigmentų chemijos terminiją, rašė straipsnius apie dažančias medžiagas enciklopedijai. Sudėtingiausias dažiklių bei pigmentų formules rašydavo iš atminties, tuo stebindamas klausytojus.
S.Kutkevičius neapsiribojo pedagogine veikla ir tęsė mokslinį tiriamąjį darbą. Iš pradžių padėjo akademikui A. Purėnui rengti aspirantus, jam mirus, intensyviai plėtojo Maskvoje pradėtą, o Lietuvoje tuo metu visai naują tematiką. Su savo aspirantais ištyrė epichlorhidrino reakcijas su aromatiniais aminais bei azoto turinčiais heterocikliniais junginiais. Su savo mokiniais išrado ir užpatentavo naują originalų poliamidinio pluošto dažymo būdą – norimos spalvos dažikliai sudaromi tiesiog ant pluošto jo gamybos metu. Šis metodas buvo išbandytas ir įdiegtas Lietuvos SSR ir Sovietų Sąjungos gamyklose – Kauno šilko kombinate, Vilniaus kojinių ir trikotažo dirbinių gamybos bendrovėje „Sparta“, Klino cheminių pluoštų susivienijime „Chimvolokno“ ir kitur. 1972 m., apibendrinęs tyrimų rezultatus, S. Kutkevičius Vilniaus universitete apgynė habilituoto daktaro disertaciją „Aromatinių aminų ir heterociklinių junginių N-γ-chlor-β-oksipropilinių darinių sintezė ir tyrimas“. 1974 m. jam suteiktas profesoriaus vardas, 1976 m. – Lietuvos SSR nusipelniusio mokslo ir technikos veikėjo vardas. 1977 m. konkurse „Eureka-77“ S. Kutkevičiaus pasiūlytas naujas kaprono pluošto dažymo metodas buvo pripažintas vertingiausiu metų išradimu. 1978 m. jam skirta Lietuvos SSR valstybinė premija, 1979 m. parodoje „Išradybinis ir patentinis licencinis darbas“ kartu su bendraautoriais apdovanotas sidabro medaliu. Nuo 1980 m. prof. S. Kutkevičiaus vadovaujamos mokslo grupės mokslinių interesų sritis plėtėsi, nes epichlorhidrino sąveikos su aromatiniais aminais, ir ypač heterocikliniais junginiais, produktai labai sėkmingai pradėti taikyti organinių fotopuslaidininkių, kurie bandomi Vilniaus ir Maskvos elektrografijos institutuose, sintezei. Lietuvoje susintetintieji nauji stabilios amorfinės būsenos elektroaktyvūs mažamolekuliniai junginiai, vėliau pavadinti molekuliniais stiklais, buvo pirmosios tokio tipo medžiagos ir prof. S. Kutkevičius – vienas iš šios srities puslaidininkių pradininkų pasaulyje.
1991 m., atkūrus Lietuvos nepriklausomybę, prof. S. Kutkevičius išrinktas Lietuvos mokslų akademijos nariu ekspertu. Jo mokslinės veiklos rezultatai paskelbti daugiau kaip 260 mokslinių straipsnių, 50 išradimų (su kitais). Nors didžioji jo mokslinės veiklos dalis vyko sovietų okupacijos metais, jis buvo vienas iš Lietuvos mokslininkų, labiausiai cituojamų užsienyje. Jam vadovaujant apgintos 26 daktaro ir viena habilituoto daktaro disertacijos. Profesoriaus išugdyti chemikai sėkmingai dirba Kauno technologijos, Vytauto Didžiojo, Lietuvos sveikatos mokslų universitetuose bei pramonės įmonėse. Profesorius Kauno technologijos universiteto senato narys, disertacijų gynimo specializuotų mokslinių tarybų, vėliau – doktorantūros komitetų narys, daugybės disertacijų oponentas. Mirė prof. Stasys Kutkevičius 1994 m. vasario 13 d. Kaune.